Utilisé en mathématiques et plus précisément en algèbre linéaire, le terme matrice inversible désigne une matrice dont le déterminant est différent de zéro. Pour faire simple, c'est une matrice dont la particularité est de permettre l'existence d'un inverse. Plus de détails dans cet article.

Calcul matriciel : généralités

Tout d'abord, il convient de rappeler que la notion de matrice inversible ne s'applique qu'aux matrices carrées, ce qui signifie qu'elle a un nombre égal de colonnes et de lignes.

Donc, considérant une matrice carrée A d'ordre n, on considérera qu'elle est inversible (régulière ou non singulière) puisqu'il existe une matrice carrée B d'ordre n. Dans ce cas, B sera identifié comme une matrice inverse de A, et sera noté :. On en déduit donc un double rapport d'égalité entre A et B noté : AB = BA = In, sachant que In désigne la matrice d'ordre n.

Par ailleurs, il convient de noter que la condition sine qua non du critère d'inversibilité en calcul matriciel est le fait que le déterminant soit non nul, c'est-à-dire qu'il ne soit pas égal à 0. Sinon, la matrice carrée sera considérée comme singulière ou non. inversible.

Méthode pour calculer l'inverse d'une matrice 3 × 3 avec la méthode des cofacteurs

Après avoir vérifié que la matrice est bien carrée (avec 3 colonnes et 3 lignes), nous allons procéder comme suit.

– Commencez par calculer les cofacteurs

Du fait de sa simplicité, la méthode la plus adaptée dans un processus de calcul d'une matrice inversible de petite taille est de calculer les cofacteurs. Cette étape est essentielle pour trouver le déterminant de la matrice A.

– Trouver le déterminant

Pour trouver le déterminant il suffira d'additionner les cofacteurs des éléments placés au niveau de la première ligne de la matrice. Il convient de noter que le calcul du déterminant est possible avec n'importe quelle matrice, tant que celle-ci est carrée.

– Assurez-vous que le déterminant est bien non nul (non nul)

On rappelle ici que l'inverse d'une matrice ne peut être considéré comme tel, si son déterminant est nul. Il est donc indispensable d'effectuer cette vérification avant de poursuivre le calcul.

– Construire la matrice des cofacteurs et effectuer la transposition des colonnes et des lignes

A noter que la construction de la matrice des cofacteurs ne peut être possible que si l'étape précédente a permis de confirmer que le déterminant n'est pas nul. Ensuite, vous devrez ensuite transposer les lignes et les colonnes.

– Procéder à la division de la matrice

En divisant chaque élément de la matrice transposée par le déterminant, vous pouvez ainsi trouver votre matrice inversible, qui ne sera rien de plus que l'inverse de celle d'origine.

Autres méthodes de calcul pour inverser une matrice

Outre la méthode des cofacteurs qui utilise la création d'une matrice ajoutée, il existe d'autres possibilités de calcul tout aussi simples. Ceux-ci incluent, entre autres :

– La réduction linéaire par rang

La réduction linéaire est effectuée ici à l'aide de l'algorithme de Gauss-Jordan. Il s'agira alors de passer par une succession d'itérations pour faire apparaître la matrice inversible.